La geodesia debe determinar coordenadas de un conjunto de puntos que conforman la red, dada para una época de referencia (t0). Estos puntos se refieren a algún marco de referencia, que puede ser global, continental, nacional o local.
La red sirve para diversos propósitos, como cartografía, apoyo fotogramétrico, levantamientos catastrales, ingeniería, replanteos, estudios de deformación, entre otros.
La definición de red geodésica, comprende un conjunto de puntos relacionados entre sí por medio de observaciones geodésicas, asociados a un Datum, que definen una ubicación, orientación y escala de la misma.
1. Formulismo matemáticos necesarios para el diseño de redes geodésicas.
$$Cxx = \sigma _{0}^{2}(A^{T}PA)^{-1}$$
El factor de varianza a posteriori depende de los residuales, en el diseño de redes es igual a 1.
$$\sigma _{0}^{2}$$
Cxx matriz de covarianza de las incógnitas.
P matriz de pesos de las observaciones.
A matriz de diseño.
2. Diseño de redes geodésicas.
El diseño de la red, consiste en determinar la distribución de puntos, así como los instrumentos y los procedimientos de medición, necesarios para la que la red cumpla con los propósitos definidos.
Una vez medida y calculada, se debe verificar que la red cumpla con los criterios para lo cual fue diseñada.
El diseño preliminar de la red geodésica se elabora a partir de la información disponible. Es necesario tomar en cuenta accesos, vértices pre-establecidos, estado de caminos, entre otros, de forma que el diseño, que se adopta sea lo más aproximado que se pueda al diseño definitivo en campo. Este diseño se depura y/o modifica con base a los resultados de la visita de campo.
El problema del óptimo diseño de una red geodésica comienza con F. R. Helmert en 1868 (Grafarend, 1974) quien propuso una esquema de clasificación para efectuar un “levantamiento racional”. Helmert buscó encontrar reglas para la óptima localización de los puntos de una red, como una función del tipo de mediciones y el número de observaciones.
Sus postulados de máxima precisión en las coordenadas de los puntos de la red a partir de la compensación y del mínimo costo económico y tiempo para realizar las observaciones son actualmente aceptados mundialmente. El esquema propuesto por Helmert para el problema de diseño óptimo comprende:
- Diseño de orden cero (problema del datum): selección del marco de referencia para las coordenadas y matrices de covarianza. Esto implica la elección de tipo de ajuste (red libre, restricción mínima, restringida ó fija) y la cantidad de puntos de enlaces.
Conocidos A y P hallar Cxx;
- Diseño de orden I (problema de configuración): selección de puntos de la red y mediciones a realizar. Se conoce los pesos de las observaciones, el problema será encontrar la adecuada configuración de puntos y mediciones geodésicas, la elección de la posición de los puntos esta estrictamente limitada por el terreno o elementos que puedan obstruir estas mediciones como por ejemplo edificios o arboles.
Conocidos P y Cxx hallar A;
- Diseño de orden II (problemas de peso de observaciones): seleccionar exactitudes de las mediciones a realizar. Conocida la configuración de la red geodésica, el problema consiste en decidir los pesos de las observaciones necesarios para cumplir el criterio de diseño. En la práctica, esto se traduce en la elección del instrumental, metodología y procedimientos de observación. Cabe la posibilidad de que algunos elementos debe ser medidos con mayor precisión que otros o que algunas estaciones requieran una mayor cantidad de tiempo en las observaciones GPS o mayor cantidad de series angulares.
Conocidos A y Cxx hallar P;
- Diseño de orden III (problema de densificación): selección de los puntos, mediciones, y exactitudes de mediciones para mejorar la red existente. En general, este problema se basa en cómo elegir los puntos y mediciones geodésicas que mejoren una red de control ya existente, contemplando una densificación. Para decidir sobre estas cuestiones es necesario determinar las propiedades estocásticas de las coordenadas (matriz de varianza-covarianza) de los puntos existentes así como la determinación de los errores sistemáticos presentes.
Conocida Cxx hallar A y P.
El diseño de una red geodésica, es un proceso de cálculo complejo, se recurre al ajuste por técnicas de mínimos cuadrados para obtener resultados óptimos, el cual implica un proceso iterativo.
En el diseño se distingue cuatro etapas:
- La definición del problema;
- El diseño de la red;
- Selección del método del diseño;
- Procesos de optimización del diseño.
Los elementos a considerar son:
- Objetivos de la red.
- Exactitud y metodología para alcanzarla.
- Impacto económico (presupuesto).
- Tiempo.
3. Métodos de diseño de redes geodésicas.
Según Burgos (2012), identifica dos posibles aproximaciones al diseño. En el primer Método, denominado directo o analítico, se busca la solución matemática directa al problema del diseño de primer y segundo orden. En el segundo método, llamado indirecto o pre-análisis, se propone una configuración y conjunto de varianzas para las medidas basada en el conocimiento y la experiencia. La red es entonces examinada para ver en qué medida se alcanzan los criterios de diseño. Tras esto se efectúan los cambios pertinentes y se vuelve a analizar la red para determinar en qué medida los cambios realizados han resultado en una mejor aproximación al criterio de diseño. De este modo, se continúan introduciendo modificaciones hasta que el diseño de red obtenido coincide con el criterio de diseño dentro de un margen aceptable de error.
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3.1. Diseño directo o analítico.
El método utiliza algoritmos de programación lineal o no lineal (previa linealizacion con el teorema de Taylor), para determinar un valor mínimo o máximo una función objetivo que es la suma de las varianzas de las medidas. Estas funciones pueden ser obtenidas directamente de los requisitos de la medida o ecuaciones de condiciones. Este procedimiento solo ha sido aplicado para cumplir únicamente los criterios de precisión, generalmente son empleados para resolver problemas de primer y segundo orden. Requiere de formulación rigurosa matemática.
3.2. Diseño indirecto o pre-análisis.
Este método hace uso de gráfico interactivo hechos mediante el computador conjuntamente con algoritmos de estimación secuencial para observaciones de observación por el método paramétrico de la compensación por cuadrados mínimos.
La nueva red geodésica es ideada a partir:
- Utilizando coordenadas aproximadas de las estaciones posible obtenidas a través de la cartografía de la zona.
- La desviación estándar de las medidas asignadas en función de los equipos disponibles y de la metodología de observación. La nueva red tendrá por tanto una matriz de covarianza a priori dada por:
$$Cxx = \left ( A^{T}PA \right )^{-1}$$
Se recomienda realizar el pre-análisis con restricción mínima en el ajuste, esto permite que la geometría de la red, los puntos y sus elipses de error relativas no varíen al fijar cualquier otro punto de la red. Esta representación es muy útil y proporciona una sencilla interpretación de la precisión relativa de la posición de los puntos con respecto a la base de referencia de varianza cero elegida.
Generalmente se realiza una configuración inicial y se compara los datos de precisión de las coordenadas, las cuales pueden ser calculadas y mostradas, si estas se sitúan por debajo o por encima de un criterio de diseño, en función de estos criterios relacionados a precisión y exactitud deberá de realizarse los cambios pertinentes.
Los elementos a medir pueden ser eliminados o incluidos, cualquier cambio implicara la revisión de la matriz de covarianza de las parámetros incógnitas (Cxx), un proceso relativamente rápido.
El diseñador comenzara rápidamente a apreciar los efectos de la adición o eliminación de los elementos de medición y podrá desarrollar un conocimiento intuitivo de la importancia relativa ente los distintos elementos para la precisión del posicionamiento.
En conclusión los métodos indirectos iterativos ofrecen la posibilidad de diseñar redes de control en ingeniería con propósitos específicos de una forma más eficiente que la simple intuición, siendo la experiencia del diseñador un factor fundamental en el proceso.
3.2.1. Procedimiento general del pre-análisis de redes geodésicas.
- Establecer de forma tentativa la ubicación de los puntos, a partir de la cartografía disponible, mapas, imágenes de satélites o aplicaciones de web mapping o mashups como Google Earth.
- Selección del instrumento a usar para llevar a cabo la campaña de medición. Es necesario considerar el factor tiempo. Premisa: metodologías más exactas requieren de más tiempo de medición, y poseer el personal capacitado.
- Resolución de asuntos de logística, donde se considera los tiempos de medición, el tiempo de traslado entre los puntos y condiciones al acceso de los mismos.
- Al finalizar estas etapas se disponen de una configuración preliminar de la red y un posible plan de medición, con lo cual se inicia el proceso de pre-análisis, apoyado en el ajuste por mínimos cuadrados.
3.2.2. Requerimientos del diseño de redes geodésicas.
- Coordenadas aproximadas (configuración de la red):
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| Fuente: Valverde (2013) |
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| Fuente: Valverde (2013) y Ashtech (2000). |
- Programa para el pre-análisis y ajuste de los datos de las mediciones geodésicas.
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| Fuente: Best-Fit Computing, INC (2009). |
3.2.3. Beneficios de diseño de la red geodésica.
Los agrimensores a menudo preguntan, ¿Cuáles son los beneficios del diseño de red para un levantamiento GPS, ya que la precisión de líneas base GPS individuales están en función de la geometría del satélite y no de la geometría de la red de estudio?
La respuesta corta es que el diseño de la red, es un instrumento útil en la estimación preliminar del análisis de la exactitud de los parámetros incógnitas, llamada también “análisis de la fuerza de las figuras”, proporcionando un intervalo de confianza de la medición futura, siendo esta una función del diseño de redes.
El propósito del diseño de la red consiste en estimar cierto nivel de confiabilidad de la medición a realizar, antes de ir al campo. El diseño de la red le permite experimentar con diferentes variables con el fin de cumplir o superar los requisitos o criterios de precisión del estudio establecido.
En el caso de mediciones GPS, es recomendable realizar sesiones estáticas en lugar de las sesiones estáticas rápidas. Para trabajo de redes convencional, puede requerir que para mejorar la geometría de la red, se utilice un equipo más preciso, y/o tomar más mediciones angulares o distancias. Las redes convencionales o terrestres más fuertes tendrán la apariencia de una telaraña, compuesto de triángulos, cada uno con ángulos interiores cerca de 60 grados. Por supuesto, esto es óptimo, pero casi nunca alcanzable en el campo.
3.2.4. Variables del diseño
- El número y la ubicación física de los puntos del estudio.
- El número y tipo de observaciones que se deben medir.
- Las desviaciones estándar de observación (errores estándar) que se esperan lograr en el campo.
La alteración de cualquiera de estas variables, va a cambiar los estimadores estadísticos estimada de su estudio. El diseño de la red permite llevar a cabo el análisis de las "condiciones" que deben darse para que estas variables del diseño, puedan cumplirse en el campo.
3.2.5. Metas de diseño.
- Realizar cada estudio de una manera rentable en tiempo, logística y costo económico.Al proyectar una nueva red geodésica, es nuestro trabajo como ingenieros geodestas, considerar los diversos propósitos y limitaciones. El propósito es una relación sana de la exactitud obtenida y del costo de la red. EN GENERAL SE TRATA DE OBTENER CON EL MENOR COSTO POSIBLE LA MÁS ALTA EXACTITUD. Nuestras limitaciones son las disponibilidades: tiempo, equipos y personal adecuado. Para obtener una solución satisfactoria se puede variar el tipo de las observaciones, métodos de medición, la configuración de la red, formas organizativas de la obra, etc.
- Determinación de los procedimientos de campo y el equipo necesario para lograr los requisitos de precisión. Esto podría ser algo tan simple como el uso de una estación total más precisa, o tal vez cambiar sus procedimientos de medición un poco, para lograr una mayor precisión, por ejemplo, hacer mediciones terrestres durante las horas más frescas del día, mejores configuraciones de instrumento/objetivo , hacer mediciones adicionales, y así sucesivamente.
- Toma de decisión, al momento de ejecutar el proyecto de medición, basado en los requerimientos de exactitud de la red, decidir en función de la naturaleza del equipo (precisión) y/o del personal, evaluando la posibilidad de cumplir con los requisitos, en caso contrario, no tomar el proyecto.
- Finalización rápida del diseño. El proceso de diseño de la red debe requerir mucho menos tiempo que la medición en sí. Para proyectos de mediano plazo, un día o dos de planificación del diseño, son suficiente.
3.2.6. Algunas reflexiones sobre el proceso de diseño.
El diseño de la red le permite alcanzar los tres primeros objetivos anteriores, el cual proporciona estimaciones estadísticos de la precisión que se logra teniendo en cuenta los tipos de observación de entrada, sus desviaciones estándar y la ubicación de las estaciones en el estudio.
Después de un diseño inicial, puede descubrir que la precisión estimada no cumplirá con los requisitos de la medición. Usando un proceso iterativo de cambiar las variables mencionadas anteriormente, usted puede encontrar una manera de satisfacer los requisitos de precisión.
Antes de hacer una oferta del diseño final del proyecto, es posible que el diseño inicial, cumpla los requisitos de exactitud exigido. Sin embargo, luego de reducir el número de estaciones y observaciones, se ejecuta el pre-análisis y descubra que todavía está dentro de los requisitos de exactitud, pero ahora el proyecto va a costar menos llevarlo a cabo.
En caso de considerar el uso solo de mediciones GPS para el proyecto, pueda darse el caso, que después de ejecutar su red propuesta en el proceso de diseño, podría descubrir que un problema ha surgido, al no poder fijar una solución optima a través de solo mediciones GPS. De hecho, puede que tenga que añadir las observaciones terrestres para una parte del proyecto con el fin de permanecer dentro de los requisitos de precisión. Esto puede ocurrir en un área en la que se tiene una visibilidad deficiente de los satélites o en un área en la que los puntos que hay que establecer, están sólo unos pocos cientos de metros de distancia. Quizás sólo el equipo de medición terrestre puede darle la precisión que necesita en estas áreas.
Una vez completado el diseño, se ha creado un modelo a seguir, para el equipo de campo. Ese modelo les dirá más o menos dónde ubicar las estaciones, los tipos de observaciones para medir en cada estación, y el nivel de precisión necesario para esas observaciones. Usted podría utilizar posiblemente mediciones GPS en una sección del proyecto, una estación total de 10 segundos en otra sección, y una estación total de 1 segundo en otra sección del proyecto. Mediante el uso de diseño de la red, se puede determinar la forma en que el estudio debe de proceder.
Por supuesto, el elemento más importante para el diseño está en lograr "EN EL CAMPO" lo que se diseñó en la oficina. Si usted es incapaz de medir los ángulos de +/-5 segundos o medir distancias a +/- 0.004 metros (como se especifico en el diseño final), el proyecto probablemente no cumplirá con las expectativas derivadas del diseño. En pocas palabras: ¡NO SEAS DEMASIADO OPTIMISTA ACERCA DE LO QUE PUEDES LOGRAR EN EL CAMPO! Habiendo dicho todo esto, no hay sustitución para la experiencia y la intuición de los proyectos anteriores.
4. Elipse de error como regiones de confianza.
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| Fuente: Marqués (2009) |
La distribución de probabilidad conjunta de las coordenadas (x, y) está representada por la superficie f(x, y) “campana elíptica” cuya intersección con los planos (x, y) formaran una familia de elipses centradas en la posición media del punto (xp, yp) las cuales son conocidas como elipses de error.
Las elipses de error son una expresión de parámetros (coordenadas) obtenidos en la solución por mínimo cuadrados.
La información sobre la precisión de los parámetros estimados en el ajuste viene dada por la matriz de varianza-covarianza de los parámetros. Esta matriz vendrá influida por:
- Geometría de las observaciones;
- Sistema de referencia usado para la relacionar observaciones y parámetros a estimar.
- Componente estocástica, es decir, observaciones y matriz de pesos asignada a priori.
El centro de la elipse es el vértice de la red plana cuyas coordenadas son ajustadas (X, Y). La elipse de error debe interpretarse como una región de confianza dentro de la cual se encuentra a cierto nivel de probabilidad, las coordenadas exactas del punto, puesto que la forma y tamaño de la elipse de error dependerá de la geometría de la red a través de la matriz de diseño A.
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| Fuente: Marqués (2009). |
4.1. Elipse de error absoluta.
Representa la región de confianza dentro de la cual, bajo un cierto nivel de probabilidad, estará ubicada la posición de un punto en el plano, siendo la posición más probable de dicho punto, el centro de la elipse. Los elementos de la elipse de error se obtienen a partir de la matriz de covarianza del punto.
4.2. Elipse de error relativa.
Representa la exactitud de la posición de un punto con respecto con otro punto y se obtiene a partir de la matriz de covarianza de las diferencias de coordenadas entre los dos puntos.
5. Criterio para el diseño de redes de control geodésico.
Dependerá del propósito de la red, se considera:
- Máxima varianza ≤ tolerancia;
- Máximo semieje mayor de elipse de error absoluta ≤ tolerancia;
- Máximo semieje de elipse de error relativa ≤ tolerancia;
- Exactitud relativa ≤ tolerancia.
Referencias bibliográficas
- Ashtech. (2000). Receptor GPS Z-XTREME. Manual de operaciones y referencias. Thales Navigation.
- Burgos, I. (2012). Desarrollo de una herramienta para la evaluación a priori de una red de control dimensional. Especialidad: Adquisición y tratamiento de datos geomáticos, Universidad Politécnica de Madrid, Escuela técnica superior de ingenieros en topografía, geodesia y cartografía, Madrid.
- Grafarend, E. (1974). Optimization of geodetic networks. Bolletino di geodesia a science affini.
- .Ghilani, C. D., & Wolf, P. R. (2006). Adjustment computations spatial data analysis. (Cuarta edición ed.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
- Márquez, R. (2009). Introducción al ajuste y diseño de redes topográficas. Universidad Nacional de San Juan, Departamento de Ingeniería en Agrimensura, San Juan.
- Ortiz, E. (2014). Presentación de cálculo de compensación. Notas de clases de Tópicos Especiales De Cálculo De Compensación Y Mediciones. Universidad del Zulia, Departamento de Mediciones y Cálculo Geodésico., Maracaibo.
